01. 에너지 밴드(Energy band)의 형성 과정

#0. 에너지 밴드를 알기 위해서

 양자역학에서, 구속된 전자는 양자화된(불연속적인) energy를 가진다고 배웠다.

에너지 밴드를 알기 위해 하나 더 필수적으로 알아야 할 것은, 바로 파울리 배타원리이다.

 

< Pauli Exclusion Principal >

전자가 오비탈에 배치될 때 네 가지 양자수가 모두 같은 전자쌍은 존재할 수 없다.

이 원리에 따르면 하나의 orbital에는 최대 2개의 electron이 배치되며, 이때 두 electron의 spin direction은 서로 다르다.

따라서 orbital에 배치 될 수 있는 electron의 최대 수는 s orbital이 2개, p orbital은 6개, d orbital이 10개이다.

 

 

파울리 배타원리에는 다양한 관점에서만큼 다양한 설명이 있지만, 우리가 가장 중요하게 생각해야 할 것은 

 

" 같은 원자가 인접하게 되면 원리에 따라 전자의 에너지 준위가 분리된다 "

 

이 원리를 가지고 에너지 밴드가 무엇인지 알아봅시다.

 

 

 

#1.  에너지 밴드

원자에 포함되어 있는 전자가 갖고 있는 에너지는 불연속적인 값을 갖고 있다고 하였다.

두 원자가 인접하여 최외각 에너지 전자의 전자궤도가 공간적으로 중첩된다면, 파울리 배타 원리에 의해 전자가 서로 분리되게 되는데, 이때 전자가 갖고 있는 에너지 준위 또한 분리되게 된다.

 

 

 

무수히 많은 원자가 인접하게 될 때, 무수히 많은 에너지 준위 또한 각각 분리되어야 하고, 무수히 많은 중첩이 발생하여 

마치 연속된 띠 모양의 준위를 형성하게 되는데, 이것이 에너지 밴드. 

위 그림과 같이 우리가 에너지 밴드를 생각할때 떠올리는 그림은, 다음 게시물에 설명할 예정이다.

다양한 경우에서의 에너지 밴드 형성과정을 알아보자.

 

#2. 에너지 밴드의 형성 과정

 

a. 다중전자 원자의 경우(일반적인 경우)

원자들이 인접하는 경우에,

 

1. 최외각 전자로부터 순차적으로 전자궤도 중첩 발생
2. 전자 각각의 에너지 준위가 중첩원리에 의해 분리되어 에너지밴드 형성
3. 기존 불연속 에너지 준위 간의 에너지 간격으로 인해 에너지 밴드간에 전자가 가지지 못하는 에너지 간격 발생

여기서 전자가 가지지 못하는 에너지 간격이 뭘 의미할까? 라는 의문점이 생긴다.

 

좌측 그림과 같이, 3개의 전자궤도를 가지는 가상의 원자를 가정하자.

3개의 궤도에 있는 각 전자는 불연속적인 각각의 에너지 준위를 가지고, 각 에너지 준위마다 차이를 보이기 때문에, 전자가 가지지 못하는 에너지 간격이 발생된다.

 

 

 

위 설명을 그래프화 한다면

 

허용 에너지 밴드 : 기존 에너지 준위에서 분기하여 결정에서 전자가 가질 수 있는 에너지밴드

금지 에너지 밴드 : 기존 에너지 준위 간격에서 분기하여 결정에서 전자가 가질 수 없는 에너지 밴드

 

 

 

 

b. Si 결정의 경우

상당히 복잡한 개념이다. Si원자의 전자궤도부터 천천히 알아보도록 하자.

 

 

실리콘 원자의 전자궤도

실리콘의 전자 개수는 14개이고, 좌측 그림처럼 n=1개는 2개, n=2개는 8개까지의 전자가 들어갈 수 있어 낮은 에너지 상태에 먼저 위치하는 전자의 성질때문에 남은 공간 없이 전부 위치하게 되었고,

남은 4개의 전자는 최외각 궤도(n=3), 즉 가장 높은 에너지 준위에 존재한다.

 

그림의 우측에서 확인할 수 있듯이, 최외각 전자 4개중 2개는 다른 2개의 전자보다 약간 낮은 에너지 준위에 존재한다.

(n=3는 3s궤도와 3p궤도로, 미세한 차이가 나는 두 에너지 준위가 포함되어 있다.)

 

Two allowed levels : 3s 궤도에는 2개의 전자가 허락된다.

Six allowed levels : 3p 궤도에는 6개의 전자가 허락된다.

 

이 두 궤도를 합쳐서 n=3(최외각 궤도)에는 총 8개의 전자가 존재할 수 있게 되는 것이고, 낮은 에너지 준위부터 전자가 채워지기 때문에, 3s 궤도에는 2개의 자리 중 2개 전부가 채워지고, 3p 궤도 에는 남은 2개의 전자가 위치하게 되는 것이다.

이 최외각 전자 4개만이 Si원자의 결합에 관여하는 것이다. 이제 Si의 에너지 밴드 형성 그림을 보자.

 

Si 결정의 전자에너지 상태

먼저, 위 그래프는 Si원자들이 원자 핵 사이 거리  r에서 단결정 격자를 이루는 경우를 나타냈으므로, 단결정 격자를 보자.

좌측 그림이 Si 단결정을 나타내고, 위 그래프의$a_0$ 가 그림의 Si 단결정의 원자간 거리 0.15nm를 의미한다.

 

 

 

 

위 그래프를 다시 보자.

 

 

앞서 설명한 것처럼, n=3 껍질 내에 포함되는 2s와 3p 궤도는 미세한 차이가 나는 서로 다른 에너지 준위이다.

Si 원자들이 서로 가까워 질 경우(위 그래프의 r 감소에 해당)

 

 

" 그래프 해석 "

1. 원자에 구속되어 있는 전자들이 중첩하며(a 구역에서 2갈래로 갈라지기 시작하는 부분) 에너지 밴드가 형성되기 시작

2. 원자 핵 사이가 거리 r이 일정 거리가 되었을 때, 3s, 3p 상태에 존재하는 전자들이 중첩되어 하나의 밴드 형성(b 구역)

3. 원자 핵 사이 거리가 $a_0$ 가 되었을 때, 밴드는 다시 분리되게 된다.(c와 d 구역)

 3번처럼 분리된 에너지 밴드를 형성하였을 때, 원자간 거리가 $a_0$일때 Si 단결정을 형성하였다고 하였으므로

" c,d 구역처럼 나타나는 밴드를 Si 단결정의 에너지밴드 상태" 라고 정의한다.