04. 페르미 디락 분포확률함수(Fermi-Dirac's distribution)

#1.  Fermi-Dirac 확률함수

• 에너지 E를 갖는 전체 양자 상태 중 전자가 채워져 있는 확률(상태의 비율)로 정의한다.
• 확률이므로, 단위는 없고, 0과 1사이의 값을 갖는다
• 에너지 E의 함수로 정의된다.

fermi-Dirac 확률함수는 아래의 식으로 정의한다.

페르미 - 디락 확률함수 식

N(E) : 단위 에너지당 단위 부피당 전자 수

g(E)  : 에너지상태밀도 함수

$E_f$ : 페르미 에너지

 

위 식을 통해 Fermi-Dirac은 임의의 온도 T에서 에너지 준위 E가 입자에 의해 채워질 확률이라고도 표현할 수 있다.

 

 

fermi-Dirac 확률함수에 대한 내용은 후에 조금 더 다루기로 하고, $E_f$, 페르미 에너지에 대해 살펴보자.

 

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#2. fermi energy 

일반적으로 fermi energy와 level을 혼용하여 사용하곤 한다. 하지만 작은 차이가 존재한다.

 

fermi energy / fermi level의 차이는 다음과 같다.

 

 

fermi energy : 0K에서 전자가 가질 수 있는 최대 에너지 준위

fermi level : 임의의 온도 T에서 전자가 채워질 확률이 1/2인 에너지 준위

 

두 용어는 각각 다르지만, 큰 차이 없이 혼용하는 경우가 있으니, energy는 절대온도 0K, level은 임의의 온도 T의 차이가 있다라고 생각하고 넘어가면 되겠다.

 

당연히 한 줄로 정의된 내용만 보고 이해가 되지 않았기에, E, T에 따라 변하는 값들을 추가적으로 알아보도록 하자.

 

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#3.  fermi level과 fermi-dirac 함수의 관계성

 

 

페르미 - 디락 확률함수 식

의 식을 이용해, 두 그래프를 그릴 수 있다.

 

 

 

#2 에서 T = 0K 과, T > 0K으로 구분하여 energy 와 level을 설명하였으므로, T에 따라 나누어 그래프를 표시한다.

 

 

 

     (좌) T=0k 에서의 E-$f_F(E)$ 그래프                              (우) T>0K 에서의 E-$f_F(E)$ 그래프

 

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< 그래프 분석 >

 

최대한 이해하기 쉽게 말로 풀어 설명하였다. 쭉 읽어보시는 것을 권장한다.

 

 

a. T = 0K 에서의 E-$f_F(E)$ 관계

 

fermi-dirac 확률함수는 0~1사이의 값을 갖는다. T = 0K에서  $E_F$는 전자가 가질 수 있는 최대 에너지 준위라는 말은,

T=0K에서 $E_F$보다 큰 에너지를 갖는 전자는 존재하지 않는다는 것이고, 0~$E_F$ 사이에 모든 에너지 상태가 전자들에 의해 점유되었다, 즉 $E_F$보다 작은 에너지 상태에는 전자가 존재할 확률이 100%, $f_F(E)$ = 1 이 된다.

 

간단히 정리하자면 아래와 같다.

 

1. $E_F$ 이상의 에너지를 갖는 전자는 없다.   >>>   E > $E_F$ 일때, $f_F(E)$ = 0

2. 0 ~ $E_F$ 사이의 에너지 상태에서는 전자가 무조건 존재한다.   >>>    E < $E_F$ 일때, $f_F(E)$ = 1

 

 

b. T > 0K 에서의 E-$f_F(E)$ 관계

 

T > 0K 에서 특정 에너지 준위 E에 놓인 전자는 평균적으로 E의 에너지를 가지고,

위 식에서 확인 할 수 있듯이 exp 항이 무한대로 발산하지 않아 exp항이 값을 가지게 된다.

따라서 T = 0K에서는 $f_F(E)$ 함수값이 1 또는 0이였음에 반하여, 다른 다양한 값들을 가질 수 있다는 것을 의미한다.

 

 

또한, T > 0K 의 의미는, 열에너지를 받을 수 있다는 것을 의미하여 T = 0K일때 전자가 가질 수 있는 최대 에너지 준위를 뛰어넘을 수 있다. T = 0K 일때 전자가 가질 수 있는 최대 에너지 준위는 $E_F$이므로

$E_F$보다 큰 E를 가질수 있다는 의미이다. ( T = 0K일때는 E> $E_F$ 이면 $f_F(E)$ = 0 )

 

온도가 커지면 커질수록, exp값이 더 작아져 기울기가 더 완만하게 된다.

 

또한 앞서 fermi-level의 정의, 임의의 온도 T 에서 전자가 채워질 확률이 1/2 인 에너지 준위를 $E_F$라 하였기에,

우측의 그래프는 항상 ($E_F$ , 1/2)을 지나게 되고,  대칭점이 된다.

T > 0K에서 어떤 전자가 $E_F$의 에너지를 갖게 된다면 이 전자가 해당 에너지 준위에 존재할 확률이 1/2($f_F(E)$)이 된다는 것이다.

 

간단히 정리하자면 아래와 같다.

 

 

1. E = $E_F$ 일 때, $f_F(E)$ = 0.5의 값을 갖는다. ( 페르미 에너지의 양자상태에 전자가 채워질 확률은 절반이다.)

2. T가 높을수록 $E_F$보다 높은 에너지의 양자상태가 채워질 확률이 증가한다. = $f_F(E)$

2-1. T가 높을수록 $E_F$보다 낮은 에너지의 양자상태가 비워질 확률이 증가한다. = 1 - $f_F(E)$

2-2. 위 두 확률의 합은 언제나 1이므로, 그래프는 E = $E_F$ 일때 대칭성을 갖고 있다.