03. (에너지) 상태 밀도 함수

게시글에 한글을 대부분 사용하였는데, 점점 영어를 섞을 생각입니다 😀

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이번에 살펴 볼 내용은 "(에너지) 상태 밀도 함수" 이다. 

에너지 밴드에 대해 배우다가 갑자기 점프한 느낌이 들 수도 있지만,

일반적으로 우리가 반도체에 도핑을 하여 실제 공정 등에 사용하게 되는데, 이때 전자와 정공의 농도를 구하기 위해서는

에너지의 함수로 표시되는 상태 밀도 함수, 페르미-디락 확률함수 등을 알아야 한다.

먼저, 상태 밀도 함수에 대해 배워보자.

 

 

#1. 상태  밀도 함수(DOS, Density of state)

에너지 밴드 내 전자가 차지할 수 있는 에너지 상태의 밀도라 정의하며, 다른 말로 단위 에너지당 단위 부피당 양자 상태 수를 나타내는 함수이다. 

 

단위 에너지당 단위 부피당 양자 상태 수를 나타내므로, 단위는 [ # / ㎤ · eV ] 로 표현된다.

 

a. 자유전자의 상태 밀도 함수

g(E)로 표현하고, E의 함수임을 알 수 있다.

위 식은 3차원 무한 양자우물에 갇힌 질량 m인 자유전자의 에너지 상태 밀도 함수를 의미한다.

갑자기 이게 무슨말인가 싶을 수 있다. 하나씩 풀어보자.

 

 

 

3차원 무한 양자우물은, 전위(벽의 높이)가 무한인 전위우물을 의미한다.

상당히 복잡하고 어려운 개념이므로, 간단한 이해만 돕고 넘어가고자 한다.

 

 

3D infinite potential well

 

 

V(전위, 에너지)를 높이라고 생각하면 이해가 쉽다.

높이라고 생각하면, 좌측 그림은 벽이 무한대인 (넘어가기 위해서는 무한대의 에너지를 가져야 하는) 직육면체 통이다.

우측 그림에서 볼 수 있듯이, 원자에 속박된 전자들은 -의 에너지 값을 갖는다.

"자유 전자는 에너지가 0보다 큰 양수" 이지만, 무한대의 값을 가질수 없기에

 

3차원 무한 양자우물에 들어간 전자는 나갈 수 없어 갇힌 상태가 된다.

 

 

이때 식 g(E)를 유도하는 과정이 있지만, 양자역학적 내용이기에 생략하도록 한다.

 

 

 

 

b. 반도체의 상태 밀도 함수

 

앞에서 에너지 밴드에 대해 배웠다. 조금 더 살펴보도록 하자.

 

 

 

 

여기선 정공(hall) 이라고 정의할 것이다.

 

모두가 알 만한 개념을 설명했는데, 이유를 알아보도록 하자.

 

위의 자유전자의 DOS 에서 주어지는 값 중 하나는 바로 electron mass (m) 인데, 

conduction 과 valance band의 준위는 band gab으로 분리되어 있어, 상태 밀도 함수는 각각 나뉘게 된다.

따라서 각각의 band에서 에너지 상태를 갖는 mass는 

 

• conduction band  : $m_n^*$ (전자유효질량)
• valance band : $m_p^*$ (정공유효질량) 

또한, band gab(금지대)에서는 에너지를 가질 입자가 존재할 수 없으므로, g(E) = 0의 값을 갖는다. 

 

 

이제 semiconductor의 DOS를 보자.

 

conduction band의 DOS                                                                                       valance band의 DOS

 

$D_c(E)$ 또는 $g_c(E)$ 로 표기한다.

 

(반도체 내에서의) 전자가 갖는 에너지에 따른 D (g(E)) 의 그래프를 표현하면 위와 같다.

band gab에서의 D값은 0인 점과,  전자가 갖는 에너지가 증가함에 따라 D값의 절대값 또한 증가함을 알 수 있다.

 

 

 

다음 게시물에선 페르미 - 디락 확률함수에 대해 알아보자